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Glossar zur Linearen Algebra

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Ausdruck Definition
Schur Norm Es sei A eine (n, m) -Matrix. Dann heißt
die Schur Norm oder Frobenius Norm oder Erhard Schmidt Norm von A .
Signatur einer Matrix Die Hermitesche Matrix A besitze p positive und q negative Eigenwerte und den r -fachen Eigenwert 0. Dann heißt das Tripel (p,q,r) die Signatur von A
singuläre Matrix Die (n, n) -Matrix A heißt singulär, wenn ihr Rang kleiner als n ist.
singuläre Werte einer Matrix Es sei A eine (m, n) -Matrix, und es seien $\lambda_{1}^{}$ $\ge$ $\lambda_{2}^{}$ $\ge$ ...$\ge$ $\lambda_{r}^{}$ die von 0 verschiedenen Eigenwerte vonA TA. Dann heißen $\sigma_{j}^{}$ : = $\sqrt{\lambda_j}$ , j = 1,...,r , die singulären Werte von A.
Singulärwertzerlegung Es sei A eine (m, n) -Matrix. Dann gibt es eine orthogonale (m,m) -Matrix U, eine orthogonale (n, n) -Matrix V und eine (m, n) -Diagonalmatrix mit A = UV T, wobei die Diagonalelemente von nicht negativ und der Größe nach geordnet sind. Diese Zerlegung heißt Singulärwertzerlegung von A.
Skalar Unter Skalaren verstehen wir im Zusammenhang mit reellen Vektorräumen die reellen Zahlen, im Zusammenhang mit komplexen Vektorräumen die komplexen Zahlen.
Skalarprodukt Es sei V ein (reeller) Vektorraum. Eine Abbildung $\langle$ $\cdot$, $\cdot$ $\rangle$ : V x V$\to$ $\mathbb {R}$ heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt in V, wenn gilt
  1. für alle (Additivität)
  2. für alle und alle $\lambda$ $\in$ $\mathbb {R}$ (Homogenität)
  3.   für alle   (Symmetrie)
  4.  für alle   (Definitheit)
Ist V ein komplexer Vektorraum, so muss 3. ersetzt werden durch für alle
Spaltenraum Der Spaltenraum einer (m, n) -Matrix A ist der Teilraum des $\mathbb {R}^{n}_{}$ , der von den Spaltenvektoren von A aufgespannt wird.
Spaltensummennorm Die Spaltensummennorm ||A||1 : = max{ $\sum_{i=1}^{n}$ |aij| : j = 1,...,n} ist der Summennorm zugeordnet.
Spektralradius Es sei A eine (n, n) -Matrix. Dann heißt

$\displaystyle\rho$ (A) : = max {|$\lambda$ | : $\lambda$ ist Eigenwert von A}

der Spektralradius von A.
Spektralnorm

Es sei A eine (n, n) -Matrix. Dann ist die Spektralnorm $\sigma$ (A) : = $\sqrt{\rho(A^TA)}$ die der Euklidischen Norm zugeordnete Matrixnorm. Dabei bezeichnet $\displaystyle\rho$(ATA) den Spektralradius von ATA.

Spektralsatz Es sei A eine normale Matrix mit den Eigenwerten $\lambda_{1}^{}$ ,..., $\lambda_{n}^{}$ , und es sei u1,..., un ein Orthonormalsystem von zugehörigen Eigenvektoren. Dann gilt

A = $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}$ $\displaystyle\lambda_{j}^{}$ u j(u j)*.

Spektrum Es sei A eine (n, n) -Matrix. Dann heißt die Menge aller Eigenwerte von A das Spektrum von A.
spezielle Eigenwertaufgabe Es sei A eine (n, n) -Matrix. Dann versteht man unter der zugehörigen speziellen Eigenwertaufgabe das Problem: Bestimme $\lambda$ $\in$ $\mathbb {C}$ derart, dass das lineare System (A - $\lambda$ E)x = 0 eine nichttriviale Lösung besitzt.
Spur einer Matrix Es sei A eine (n, n) -Matrix. Dann heißt

Spur (A) : = $\sum_{j=1}^{n}$ ajj die Spur von A.

Störungslemma Es sei A eine (n, n) -Matrix, und es gelte für eine Matrixnorm ||A|| < 1. Dann ist die Matrix E - A regulär, und es gilt ||(E - A)- 1|| $\le$ 1/(1 - ||A||).
Summe von Teilräumen Es seien U und W Teilräume des Vektorraumes V . Dann ist U + W : = {u + w : u $\in$ U, w $\in$ W} ein Teilraum von V, die Summe von U und W.
Summennorm ||x||1 : = $\sum_{j=1}^{n}$ |xj| heißt die Summennorm des Vektors x $\in$ $\mathbb {R}^{n}_{}$ bzw. x $\in$ $\mathbb {C}^{n}_{}$.
SVD SVD (=singular value decomposition) ist die Abkürzung von Singulärwertzerlegung.
symmetrische Matrix Die quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn sie mit ihrer Transponierten übereinstimmt.
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