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Glossar zur Linearen Algebra

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Ausdruck Definition
Laplacescher Entwicklungssatz Ist A eine (n, n) -Matrix, so gilt für alle i,k $\in$ {1,..., n}

det (A) = $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}$ (- 1)i + jaij det Aij = $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}$ (- 1)j + kajk det Ajk.

Die erste Formel heißt Entwicklung von det(A) nach der i -ten Zeile, die zweite Entwicklung nach der k -ten Spalte.
linear abhängig Die Vektoren v 1,...,v m heißen linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem a1v 1 + ... + amv m = 0 eine nichttriviale Lösung besitzt, d.h. eine Lösung a1,...,am , für die wenigstens ein aj von Null verschieden ist.
lineare Abbildung Sind V und W Vektorräume, so heißt die Abbildung T von V nach W linear, falls
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) für alle u,v $\in$ V
  2. T(au) = aT(u) für alle u $\in$ V und alle Skalare a
lineare Mannigfaltigkeit Es sei V ein Vektorraum, W ein Teilraum von V und w0 ein festes Element in V . Dann heißt die Menge w0 + W : = {w0 + w : w $\in$ W} lineare Mannigfaltigkeit oder affiner Raum in V.
Linearkombination Ein Vektor v ist Linearkombination der Vektoren v 1,...,v m,wenn es Skalare a 1,...,a m gibt mit v = a 1v 1 + ... + a mv m.
lineares Ausgleichsproblem Unter dem linearen Ausgleichsproblem versteht man die Aufgabe, bei gegebener (m, n) -Matrix A und gegebenem Vektor b $\in$ $\mathbb {R}^{m}_{}$ einen Vektor x $\in$ $\mathbb {R}^{n}_{}$ so zu bestimmen, dass die Euklidische Länge des Defektes ||Ax - b|| minimal wird.
linear unabhängig Die Vektoren v 1,...,v m heißen linear unabhängig, wenn das lineare Gleichungssystem a 1v 1 + ... + a mv m = 0 nur die triviale Lösung besitzt, d.h. aus dieser Gleichung folgt, dass alle aj gleich Null sind.
Lösungsraum Ist A eine (m, n) -Matrix, so ist die Menge aller Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 eine Teilraum des $\mathbb {R}^{n}_{}$ und heißt der Lösungsraum dieses Systems.
LR-Zerlegung Ist A eine reguläre (n, n) -Matrix, so gibt es eine Permutationsmatrix P, eineuntere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix R mit PA = LR. Gibt es eine solche Zerlegung von A mit P = E, so heißt diese Zerlegung LR-Zerlegung von A .
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