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Glossar zur Linearen Algebra

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Ausdruck Definition
adjungierte Matrix

Es sei A eine (komplexe) (m, n)-Matrix. Dann heißt die (n, m)-Matrix B die adjungierte Matrix zu A, falls bij = $\overline{a_{ji}}$ für alle i = 1,...,n und j = 1,....,m gilt. Die adjungierte Matrix von A wird i.a. mit A* bezeichnet.

affiner Raum Es sei V ein Vektorraum, W ein Teilraum von V und w0 ein festes Element in V.
Dann heißt die Menge w0 + W := {w0 + w : w W} affiner Raum oder lineare Mannigfaltigkeit in V.
ähnliche Matrizen Zwei quadratische Matrizen A und B heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix X gibt mit A=X -1BX.
algebraisches Komplement Es sei A eine (n, n)-Matrix, es seien i, j {1,...,n}, und es sei Aij die (n-1, n-1)-Matrix, die man aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erthält. Dann heißt die Zahl (-1)i+jdetAij das algebraische Komplement oder der Kofaktor von aij.
algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts Der Eigenwert der quadratischen Matrix A besitzt die algebraische Vielfachheit k, falls das charakteristische Polynom p() von A, die k - fache Nullstelle besitzt, h.d. durch ( -)k teilbar ist, aber nicht durch ( -)k+1.
allgemeine Eigenwertaufgabe Es seien A, B (n, n)-Matrizen. Dann versteht man unter der zugehörigen allgemeinen Eigenwertaufgabe das Problem:
Bestimme derart, dass das lineare System (A - B)x = 0 eine nichttriviale Lösung besitzt.
Approximationssatz Sei V ein Euklidischer Vektorraum (nicht notwendig endlicher Dimension), W ein endlich dimensionaler Teilraum von V und P die orthogonale Projektion von V auf W. Sei v V.
Dann gilt ||v - P(v)|| < ||v - w|| für alle w W mit w P(v)
äquivalente Matrizen Zwei (m, n)-Matrizen A und B heißen äquivalent, wenn es eine reguläre (m, m)-Matrix R und eine reguläre (n, n)-Matrix S gibt mit A=R-1BS.
aufspannen Die Vektoren v1,..., vm V spannen den Vektorraum V auf, wenn jedes Element von V Linearkombination der Vektoren v1,..., vm ist.
Ausgleichsproblem Unter dem linearen Ausgleichsproblem versteht man die Aufgabe, bei gegebener (m, n)-Matrix A und gegebenem Vektor b einen Vektor x so zu bestimmen, dass die Euklidische Länge des Defektes ||Ax - b|| minimal wird.
Austauschsatz von Steinitz Es sei v1,..., vm ein Erzeugendensystem des Vektorraums W, und es seien w1,..., wr linear unabhängig. Dann gilt r m, und es können r der Vektoren v1,..., vm in dem Erzeugendensystem durch w1,..., wr ersetzt werden.
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