Vorträge

Interpolationsaufgaben mit radialen Basisfunktionen fuehren auf vollbesetzte Sattelpunktprobleme, deren iterative Loesung eine Praekonditionierung erfordert. Die Systemmatrizen koennen als H-Matrizen approximiert und fuer die Konstruktion algebraischer Praekonditionierer verwendet werden. Als Praekonditionierer verwenden wir die Nullraummethode sowie ein Gebietszerlegungsverfahren. Mittels der Nullraummethode kann die Loesung des indefiniten Systems im Wesentlichen auf die Loesung eines positiv definiten Systems geringfügig kleinerer Groesse zurueckgefuehrt werden. Die positiv definiten Systeme koennen mit einer approximativen Cholesky-Zerlegung in der Arithmetik hierarchischer Matrizen praekonditioniert werden. Kleinere Probleme werden auf diese Art zufriedenstellend geloest, aber fuer groessere Punktzahlen nimmt die Effektivität der Cholesky-Praekonditionierung ab.
Im Gebietszerlegungsverfahren wird die Kombination aus Nullraummethode und Cholesky-Praekondiitonierung nur in jedem Teilgebiet angewendet und das globale System mit einer aeusseren GMRes-Iteration geloest. Ein weiterer Vorteil der Gebietszerlegung liegt in der Parallelisierbarkeit der Konstruktion des Praekonditionierers.

Let \Omgea\subseteq\R^2 be a curvilinear polygon and Q_\Omega^\gamma be the Laplacian in L_2(\Omega) with the Robin boundary condition \partial_\nu \psi = \gamma \psi, where \partial_\nu is the outer normal derivative and \gamma>0. We are interested in the behavior of the eigenvalues of Q_\Omega^\gamma as \gamma becomes large. We prove that there exists N_\Omega \in\N such that the asymptotics of the N_\Omega first eigenvalues of Q_\Omega^\gamma is determined at the leading order by those of model operators associated with the vertices: the Robin Laplacians acting on the tangent sectors associated with \partial\Omega. In the particular case of a polygon with straight edges the N_\Omega first eigenpairs are exponentially close to those of the model operators. Moreover, if the polygon admits only non-resonant or concave corners, we prove that, for any fixed j\in\N, the N_\Omega+j eigenvalue E_{N_\Omega+j}(Q_\Omega^\gamma) behaves as E_{N_\Omega+j}(Q_\Omega^\gamma) = -\gamma^2+\mu_j^D+o(1) as \gamma\to\infty, where \mu_j^D stands for the jth eigenvalue of the operator D_1\oplus\ldots\oplus D_M and Dn denotes the one-dimensional Laplacian on (0,l_n), where l_n is the length of the nth side of \Omega, with the Dirichlet boundary condition. Finally, we prove a Weyl asymptotics for the eigenvalue
counting function of Q_\Omega^\gamma for a threshold depending on \gamma, and show that the leading term is the same as for smooth domains.

Populations-Bilanzen und ihre Simulation spielen in vielen Prozessen der Chemie, Pharmazie und Biotechnolgie eine zunehmend wichtige Rolle. Partikel werden dabei anhand bestimmter Eigenschaften wie Masse oder Volumen gezählt. Ein wichtiger Teil dieser Simulationen ist die Aggregation.
In diesem Vortrag wird dieser Vorgang in multivariaten Problemen behandelt, eine Diskretisierung und ein effizienter Algorithmus vorgestellt.

Kooperation mit der Basler AG

Teil 2 des Vortrags über lineare Relationen und Randtripel.

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Vortrag (PDF, 4.3MB)