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Consider the usual function space L^2(D) on the unit disk D and
the (closed) subspace of holomorphic functions A^2(D). An important class of bounded
linear operators arises by restricting multiplication operators M_f on L^2(D) to A^2(D). More
precisely, if P denotes the orthogonal projection onto A^2(D), one considers operators of
the form PM_f in A^2(D), so-called Toeplitz operators. In this talk we are going to study the
essential spectrum of these Toeplitz operators. It is a classical result that if the defining
symbol f is continuous up to the boundary, the essential spectrum can be obtained by
evaluating f at the boundary. As it turns out, this statement can be generalized to more
general symbols by using techniques that were developed to solve a similar problem on
the sequence space \ell^2(\Z).

Im Vortrag wird es darum gehen, wie man eine vektorwertige Gleichung löst, wenn man die entsprechende Gleichung schon einmal skalarwertig gelöst hat. Typische Beispiele hierfür sind elliptische Differentialgleichungen. Hierbei geht es dann weniger darum, den Differentialoperator selbst zu untersuchen, sondern die Eigenschaften der Räume, auf denen er lebt.

Im wesentlichen ein 60 bis 90 minütiger Arbeitsstandbericht. Es werden grundlagen der Theorie fraktionaler Operatoren erläutert und danach auf die Problematik der Einführung durch harmonische Erweiterung eingegangen.

Vier konkrete Anwendungen von Toeplitzoperatoren

Es werden vier konkrete und sehr unterschiedliche Anwendungen von Toeplitzoperatoren vorgestellt. Diese sind (1) ein Problem aus der optimalen ell-eins-Kontrolle, (2) Spektralfaktorisierung von Polynomen vom Grad 20000, (3) Berechnung des Volumens der Fundamentalgebiete gewisser hochdimensionaler Gitter, und (4) Bestimmung der Grenzmenge der Nullstellen von Polynomen vom Fibonacci-Typ in der Hausdorffmetrik. Der Vortrag erlaubt es, viermal abzuschalten und ebenso oft wieder einzusteigen.

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Four concrete applications of Toeplitz operators

I present four concrete and very different applications of Toeplitz operators. These applications are (1) a problem in optimal ell-one control, (2) spectral factorization of polynomials of degree 20000, (3) computation of the volume of the fundamental domains of some high-dimensional lattices, and (4) the determination of the Hausdorff limit of the zero set of polynomials of the Fibonacci type. The talk allows you to switch off four times and to re-enter the same number of times.