Vorträge

Die Technik der Hierarchischen Matrizen H-Matrizen) ermöglicht die Berechnung einer approximativen H-Inversen oder H-LU-Zerlegung in fast linearer Komplexität und kann auf diese Weise zur effizienten Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden. Vor der Verwendung der H-Matrix-Technik ist zu untersuchen, ob eine H-Matrix Approximation der Inversen bzw. der Faktoren der LU-Zerlegung existiert.
Resultate dieser Form konnten bereits für diverse Matrizen (z.B. Finite-Element-Matrizen) gezeigt werden, im Finite-Differenzen-Kontext sind jedoch keine Veröffentlichungen zum Einsatz der H-Matrix-Technik bekannt. Mit der Zielsetzung die Anwendbarkeit der H-Matrix-Technik für eine Finite-Differenzen-Matrix aus dem meteorologischen Transport- und Strömungsmodell METRAS zu untersuchen, wird in diesem Vortrag ein Resultat für Finite-Differenzen-Matrizen vorgestellt. Aufbauend auf dem methodischen Ansatz für Finite-Element-Matrizen wird die Existenz einer H-Matrix Approximation der Inversen von Finite-Differenzen-Matrizen gezeigt.
Die Ergebnisse können mittels numerischer Tests bestätigt werden. Bei Testproblemen, die in Anlehnung an das Gleichungssystem aus dem Modell METRAS aufgestellt werden, lässt sich im Einklang mit den theoretischen Ergebnissen jedoch eine Verschlechterung des Fehlerverlaufs in Abhängigkeit von einem Parameter feststellen. Für diese Fälle wird eine modifizierte Partitionierungsstrategie vorgestellt, deren Verwendung zu deutlich besseren Ergebnissen führt.

Die effiziente Darstellung und Approximation von Tensoren gewinnt in vielen Anwendungsbereichen der Mathematik wie Quantenchemie und -physik und auch generell innerhalb der Numerik immer mehr an Bedeutung. In diesem Vortrag werden wir ein neues Format zur Darstellung von hochdimensionalen
Tensoren vorstellen - das sogenannte Hierarchische Format oder auch Hierarchische Tucker-Format - und die grundlegende Arbeitsweise einer darauf basierenden inexakten Arithmetik erläutern. Der Schwerpunkt liegt auf der Approximation von Tensoren, sowie den Vorteilen des neuen Formates im Vergleich zu Standardformaten wie dem kanonischen Format oder der
Unterraum-/Tucker-Darstellung.