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The study of electromagnetic fields in 2D circuits often leads to resonances. We use a polynomial chaos expansion (due to uncertain circuit parameters), which is analytically and numerically troublesome near the resonance frequencies. As a toy model for the convergence of the polynomial chaos expansion, we look at the parallel RLC circuit with uncertain capacitance and give $L^2$ error bounds depending on the degree of the expansion, the random distribution, the distance to resonance and the so-called quality factor of the circuit (which is a measure for the damping).

Im Rahmen des Lothar-Collatz-Seminars spreche ich am Geomatikum (Uni Hamburg) über strukturierte Pseudospektren in der Systemtheorie.

Abstract: https://www.c3s.uni-hamburg.de/en/news-events/seminar-c3s/gallaun.pdf

Interpolationsaufgaben mit radialen Basisfunktionen fuehren auf vollbesetzte Sattelpunktprobleme, deren iterative Loesung eine Praekonditionierung erfordert. Die Systemmatrizen koennen als H-Matrizen approximiert und fuer die Konstruktion algebraischer Praekonditionierer verwendet werden. Als Praekonditionierer verwenden wir die Nullraummethode sowie ein Gebietszerlegungsverfahren. Mittels der Nullraummethode kann die Loesung des indefiniten Systems im Wesentlichen auf die Loesung eines positiv definiten Systems geringfügig kleinerer Groesse zurueckgefuehrt werden. Die positiv definiten Systeme koennen mit einer approximativen Cholesky-Zerlegung in der Arithmetik hierarchischer Matrizen praekonditioniert werden. Kleinere Probleme werden auf diese Art zufriedenstellend geloest, aber fuer groessere Punktzahlen nimmt die Effektivität der Cholesky-Praekonditionierung ab.
Im Gebietszerlegungsverfahren wird die Kombination aus Nullraummethode und Cholesky-Praekondiitonierung nur in jedem Teilgebiet angewendet und das globale System mit einer aeusseren GMRes-Iteration geloest. Ein weiterer Vorteil der Gebietszerlegung liegt in der Parallelisierbarkeit der Konstruktion des Praekonditionierers.